현재가치

현재가치(present value)는 미래의 현금흐름을 적절한 할인율로 할인하여 오늘 시점의 가치로 환산한 값이다. 순현재가치, 채권, 주식, 현금흐름할인법 등 대부분의 가치평가 문제는 현재가치 계산에 기초한다.

단일 현금흐름의 현재가치

미래의 한 시점 $t$에 현금흐름 $C{F}_t$가 발생하고 할인율이 $r$일 때 현재가치는 다음과 같다.

$PV=\frac{C{F}_t}{{(1+r)}^t}$

여기서 $C{F}_t$는 $t$시점의 현금흐름, $r$은 기간당 할인율, $t$는 기간의 수이다.

연금 공식

현금흐름이 일정한 패턴으로 반복되는 경우에는 각 시점의 현재가치를 일일이 더하지 않고 다음의 닫힌 형태 공식으로 간단히 계산할 수 있다.

연금

매 기간 동일한 현금흐름 $C$가 총 $t$기간 발생하는 연금(annuity)의 현재가치는 다음과 같다.

$P{V}_{\text{annuity}}=C\times \frac{1-\frac{1}{{(1+r)}^t}}{r}$

파이썬 코드

def annuity(cf, r, t):
    return cf * (1 - 1 / (1 + r) ** t) / r

영구연금

동일한 현금흐름이 영구히 계속되는 영구연금(perpetuity)의 현재가치는 다음과 같다.

$P{V}_{\text{perpetuity}}=\frac{C}{r}$

성장 연금

첫 현금흐름이 $C_1$이고 이후 매 기간 $g$의 비율로 성장하는 현금흐름이 $t$기간만 지속될 때 성장 연금(growing annuity)의 현재가치는 다음과 같다.

$P{V}_{\text{growing annuity}}=\frac{C_1}{r-g}\times (1-{\left(\frac{1+g}{1+r}\right)}^t)$

단, 이 식을 안정적으로 사용하려면 일반적으로 $r\ne g$이어야 한다.

영구 성장 연금

첫 현금흐름이 $C_1$이고 이후 영구히 일정 성장률 $g$로 증가할 때 현재가치는 다음과 같다.

$P{V}_{\text{growing perpetuity}}=\frac{C_1}{r-g}$

이 식은 배당이 장기적으로 일정 비율로 성장한다고 가정하는 배당할인모형과 현금흐름할인법의 종료가치 계산에 자주 사용된다.

해석

현재가치는 미래 현금흐름이 같더라도 할인율이 높을수록 작아지고, 현금흐름 발생 시점이 멀수록 작아진다. 따라서 위험이 큰 현금흐름일수록 더 높은 할인율이 적용되어 현재가치가 낮아진다.